GAMBAS BOOK 3.15.2

In many mathematical tasks you need functions to calculate powers, roots or logarithms. Gambas provides you with various functions for this purpose.

Since dealing with potencies, roots and logarithms is not part of the daily exercises, three basic considerations are put before the description of the corresponding Gambas functions:

• 100 = 10² or power value = base^exponent » power up
• 10 = 2. root_out (100) or base = power value^{root_exponent} » root_output
• 2 = log₁₀ (100) or exponent = log_Basis (potency value) » logarithmic value

The mathematical operation' Logarithmic operation' hides nothing else than the 'exponent search' for a given number (potency value) and a given basis. If logarithm = log₁₀ (1000) the exponent is searched for, for which 10^exponent = 1000. The exponent you are looking for is 3, because 10³ = 1000, which had to be said before you logarithmically start like wild on it.. .

Table 9.6.2.1: Operation: Potentiating

Table 9.6.2.1: Operation: root extraction

Table 9.6.4.1: Operation: Logarithmic logging

Hints:

• In addition to the Logx() function, Gambas also has functions for calculating the logarithm of a number to base 2 or base 10. To also calculate logarithms for base n, you can use the following relationship: Logn(x) = Log(x) / Log(n).
• Special cases for n = 2 and n = 10: Log2(x) = Log(x) / Log(2) and Log10(x) = Log(x) / Log(10)

The calculation of the 5th root from the real number 83, for example, requires the use of some of the above-mentioned functions, which is also reflected in the source code extract:

w = (83)^0.2 
ln(w) = 0.5 * ln(83) = 0,88376812155932
w = e^ln(w) = e^0,88376812155932 = 2,42000140696596

The sample is executed in a similar way:

p = (2,42000140696596)^5
ln(p) = 5 * ln(2,42000140696596) = 4,4188406077966 
p = e^(5 * ln(2,42000140696596))

Public Sub btn5Root83_Click() 
  Dim w As Float 
 
  Print "ln(w) = "; 0.2 * Log(83) 
  w = Exp(0.2 * Log(83)) 
  Print "w = "; Exp(0.2 * Log(83)) 
  Print "Probe 1 (trivial) = "; w * w * w * w * w 
  Print "ln(p) = "; 5 * Log(Exp(0.2 * Log(83))) 
  Print "Potenzwert = "; Exp(5 * Log(Exp(0.2 * Log(83)))) 
End 

Output in the console of the IDE:

ln(w) = 0,88376812155932 
w = 2,42000140696596 
Probe 1 (trivial) = 83,0000000000001 
ln(p) = 4,4188406077966 
Potenzwert = 83    

The calculation of the power value a^b for a > 0 and any b (a, b ∈ ℝ) works with the following approach: a^b = Exp (b*Log (a)) and delivers 100 in the next calculation:

a = Cbr(100) ' 3. root of 100
b = 3
Print Exp(b * Log(a))

For a = Cbr(100) and b = 6, the approximate value is 9999.999999999999999 ≈ 10000.

In vielen mathematischen Aufgaben benötigen Sie Funktionen, um Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen zu berechnen. Gambas stellt Ihnen für diese Zwecke diverse Funktionen zur Verfügung.

Da der Umgang mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen nicht zu den täglichen Übungen zählt, werden drei grundlegende Betrachtungen der Beschreibung der entsprechenden Gambas-Funktionen vorangestellt:

• 100 = 10² oder Potenzwert = Basis^exponent » potenzieren
• 10 = 2.Wurzel_aus(100) oder Basis = Potenzwert^{wurzel-exponent} » radizieren
• 2 = log₁₀(100) oder Exponent = log_Basis(Potenzwert) » logarithmieren

Hinter der mathematischen Operation 'Logarithmieren' verbirgt sich nichts anderes als die 'Exponentensuche' für eine vorgegebene Zahl (Potenzwert) und gegebener Basis. Bei logarithmus = log₁₀(1000) wird der Exponent gesucht, für den 10^exponent = 1000 ist. Der gesuchte Exponent ist 3, denn 10³ = 1000. Das musste einmal gesagt werden, bevor Sie wie wild drauf los logarithmieren … .

Funktion	Beschreibung
potenzwert = Exp (exponent AS Float ) AS Float	Berechnet den Potenzwert p zur Basis e mit dem Exponenten 'exponent' (p=eexponent). Der Exponent muss kleiner als 709.779999 sein, um Überlauffehler zu vermeiden. Die Zahl e ist die Eulersche Zahl.
potenzwert = Expm ( exponent AS Float ) AS Float	Berechnet den Potenzwert p zur Basis e mit dem Exponenten 'exponent' für sehr kleine Exponenten. Es gilt: Expm(x) = Exp(x) - 1.
potenzwert = Exp2 (exponent AS Float) AS Float	Berechnet den Potenzwert p zur Basis 2 mit dem Exponenten 'exponent' (p = 2exponent).
potenzwert = Exp10 (exponent AS Float) AS Float	Berechnet den Potenzwert p zur Basis 10 mit dem Exponenten 'exponent' (p = 10exponent).

Tabelle 9.6.2.1: Operation: Potenzieren

Tabelle 9.6.2.1: Operation: Radizieren

Funktion	Beschreibung
exponent = Log (numerus AS Float) As Float	Berechnet den natürlichen Logarithmus einer Zahl (numerus) zur Basis e (Eulersche Zahl) mit logarithmus = ln(numerus). Das Symbol 'ln' steht hier für logaritmus naturalis. Die Zahl (numerus) muss größer als Null sein. Gesucht ist der Exponent, für den eexponent = numerus gilt.
exponent = Logp ( numerus AS Float ) AS Float	Berechnet den Logarithmus zur Basis e für sehr kleine Werte des Numerus. Es gilt: Logp(x) = Log(1 + x).
exponent = Log2 ( numerus AS Float ) AS Float	Berechnet den Logarithmus einer Zahl (numerus) zur Basis 2. Die Zahl muss größer als Null sein. Gesucht ist der Exponent, für den 2exponent = numerus gilt.
exponent = Log10 ( number AS Float ) AS Float	Berechnet den Logarithmus einer Zahl (numerus) zur Basis 10. Die Zahl muss größer als Null sein. Gesucht ist der Exponent, für den 10exponent = numerus gilt.

Tabelle 9.6.4.1: Operation: Logarithmieren

Hinweise:

• Gambas besitzt neben der Funktion Logx() auch Funktionen, um den Logarithmus einer Zahl zur Basis 2 oder zur Basis 10 zu berechnen. Um auch Logarithmen zur Basis n zu berechnen, können Sie die folgende Beziehung verwenden: Logn(x) = Log(x) / Log(n).
• Sonderfälle für n = 2 und n = 10: Log2(x) = Log(x) / Log(2) und Log10(x) = Log(x) / Log(10)

Die Berechnung der 5. Wurzel aus der reellen Zahl 83 erfordert zum Beispiel den Einsatz einiger der o.a. Funktionen, was sich auch im u.a. Quelltext-Ausschnitt widerspiegelt:

w = (83)^0.2 
ln(w) = 0.5 * ln(83) = 0,88376812155932
w = e^ln(w) = e^0,88376812155932 = 2,42000140696596

Die Probe wird ähnlich ausgeführt:

p = (2,42000140696596)^5
ln(p) = 5 * ln(2,42000140696596) = 4,4188406077966 
p = e^(5 * ln(2,42000140696596))

Public Sub btn5Root83_Click() 
  Dim w As Float 
 
  Print "ln(w) = "; 0.2 * Log(83) 
  w = Exp(0.2 * Log(83)) 
  Print "w = "; Exp(0.2 * Log(83)) 
  Print "Probe 1 (trivial) = "; w * w * w * w * w 
  Print "ln(p) = "; 5 * Log(Exp(0.2 * Log(83))) 
  Print "Potenzwert = "; Exp(5 * Log(Exp(0.2 * Log(83)))) 
End 

Ausgabe in der Konsole der IDE:

ln(w) = 0,88376812155932 
w = 2,42000140696596 
Probe 1 (trivial) = 83,0000000000001 
ln(p) = 4,4188406077966 
Potenzwert = 83    

Die Berechnung des Potenzwerts a^b für a > 0 und beliebige b (a,b ∈ ℝ) funktioniert über den folgenden Ansatz problemlos: a^b = Exp(b*Log(a)) und liefert 100 in der nächsten Berechnung:

a = Cbr(100) ' 3. Wurzel aus 100
b = 3
Print Exp(b * Log(a))

Für a = Cbr(100) und b = 6 ergibt sich der Näherungswert 9999,99999999999 ≈ 10000.